Gegeben sei eine 1-dimensionale Potentialstufe:
$V(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ V_0 & \text{für } x > 0 \end{cases}$
(a) Ein Teilchen der Masse m bewege sich mit definierter Energie $E = 2V_0$ in positive x-Richtung auf die Stufe zu. Geben Sie die Lösung $\phi(x)$ der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für $-\infty < x < \infty$ an, die diesen Zustand des Teilchens beschreibt.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Teilchen an der Stufe reflektiert?
Der Ansatz für die linke Halbachse ist:
$\phi_I(x) = A \exp[ikx] + B \exp[-ikx]$
Einsetzen in die zeitunabhängige Schrödingergleichung ergibt:
$-\frac{\hbar^2}{2m}(-k^2)(A \exp[ikx] + B \exp[-ikx]) = E(A \exp[ikx] + B \exp[-ikx])$
also:
$\frac{\hbar^2k^2}{2m} = E$
bzw.
$k(E) = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2mE}$
Der Ansatz für die rechte Halbachse ist:
$\phi_{II}(x) = C \exp[ik'x]$
Mit der Stetigkeit von $\phi(x)$ und $\phi'(x)$ sowie den gegebenen Bedingungen erhalten wir:
$\phi_I(x) = A\left(\exp[ikx] + \frac{k-k'}{k+k'}\exp[-ikx]\right)$
$\phi_{II}(x) = A\frac{2k}{k+k'}\exp[-ik'x]$
mit:
$k = \frac{1}{\hbar}\sqrt{4mV_0}$
$k' = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0}$
Die Wahrscheinlichkeit für Reflektion ist:
$R = \frac{|B|^2}{|A|^2} = \left|\frac{k-k'}{k+k'}\right|^2 = 0.066$