Hyperfeinaufspaltung

Um die Hyerfeinaufspaltung zu bestimmen, kann man die Formel aus Aufgabe 5 benutzen. Die Hyperfeinaufspaltung lässt sich in erster Näherung berechnen als:

$$E_{HFS} = \frac{A_{HFS}}{2}\langle B_j \rangle(F(F+1) - j(j+1) - I(I+1))$$ $$A_{HFS} = -\frac{gP\mu_K}{\sqrt{j(j+1)}}\langle B_j \rangle$$

Dabei ist $\langle B_j \rangle$ das mittlere vom Elektron (oder allgemeiner: von der Elektronenhülle) am Kernort erzeugte Magnetfeld. Dies ist proportional zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit des felderzeugenden Elektrons am Kernort und lässt sich schreiben als:

$$\langle B_j \rangle = \frac{|\vec{j}|}{\hbar}\mu_0g_j\mu_B\frac{2}{3}|\psi(0)|^2$$ $$|\psi(0)|^2 = \frac{Z^3}{\pi a_0^3n^3} \text{ Für } l, m_l = 0$$

Wir lösen also die Aufgabe für den Grundzustand und erhalten:

$$\Delta E_{HFS} = \Delta E_{Zeemann}$$ $$\Delta E_{HFS} = E_{HFS,F=1} - E_{HFS,F=0}$$ $$E_{HFS} = A_{HFS} = \frac{2}{3}\mu_0g_j\mu_Bg_I\mu_K\frac{Z^3}{\pi a_0^3n^3}$$

Mit $n = 1$, $Z = 1$, $a_0 = 0.529 \cdot 10^{-10}$m, $g_j = 2$ und $g_I = g_P = 5.58$ ergibt sich:

$$A_{HFS} = 5.87 \cdot 10^{-6}\text{eV}$$ $$\Delta E_{Zeeman} = g_j\mu_BB_z = g_s\mu_BB_z$$ $$B_z = \frac{A_{HFS}}{g_j\mu_B} = 0.051\text{T}$$

In der Zwischensituation $\Delta E_{HFS} = \Delta E_{Zeemann}$ ist keine der Quantenzahlen wirklich erhalten.

Für den 2p$_{3/2}$-Zustand kann das mittlere erzeugte Magnetfeld nicht wie für den Grundzustand berechnet werden. Die p-Elektronen haben nämlich eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit von 0 am Kernort, und nur Effekte höherer Ordnung, die mindestens eine Größenordnung unter dem Fall für s-Elektronen liegen und deren Berechnung den Rahmen der Vorlesung übersteigt, tragen dort zur Hyperfeinaufspaltung bei.