Gegeben sei eine rechteckförmige Potentialmulde der Breite b > 0 und der Tiefe -V₀ mit V₀ > 0
$V(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \text{ (Bereich I)} \\ -V_0 & 0 < x < b \text{ (Bereich II)} \\ 0 & x > b \text{ (Bereich III)} \end{cases}$
Eine ebene Materiewelle (Energie E > 0, Masse m) treffe von links auf diese Potentialmulde. Der Betrag des Wellenvektors in den drei Bereichen soll mit k₁, k₂ bzw. k₃ bezeichnet werden.
(a) Die Energie E des Teilchens sei nun fest vorgegeben. Berechnen Sie die Muldentiefe V₀ in Abhängigkeit der Energie E, so dass gilt: k₂ = 4k₁.
(b) Die Muldentiefe erfüllt nun die Bedingung aus (a) (d.h. k₂ = 4k₁). Geben Sie für alle drei Bereiche I, II und III die zugehörigen, resultierenden Ortswellenfunktionen φ₁(x), φ₂(x) und φ₃(x) mit allgemeinen Amplitudenkoeffizienten an.
(c) Stellen Sie die Gleichungen auf, welche die Ermittlung der Amplitudenkoeffizienten aus (b) erlauben.
(d) Betrachten Sie nun zusätzlich den Spezialfall λ₁ = b/2, wobei λ₁ die Materiewellenlänge im Bereich I bezeichnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit T, mit der das Teilchen die Potentialmulde überwindet.
(a) Für die Beträge der Wellenvektoren gilt:
$k_I = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2mE} \equiv k_{III}$
$k_{II} = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(E + V_0)}$
Quadriert man die Bedingung k₂ = 4k₁, so ergibt sich V₀ = 15E.
(b) In Bereich I und II besteht die Ortswellenfunktion φ₁,₂(x) aus einer einfallenden und einer reflektierten Welle. In Bereich II besteht die Ortswellenfunktion φ₃ nur aus einer transmittierten Welle. Mit der Bedingung aus (a) erhält man somit:
$\phi(x) = \begin{cases} Ae^{ik_Ix} + Be^{-ik_Ix} & x < 0 \\ Ce^{4ik_Ix} + De^{-4ik_Ix} & 0 < x < b \\ Ee^{ik_Ix} & x > b \end{cases}$
(c) Aus der Anschluss- und Stetigkeitsbedingung an der Stelle x = 0 ergibt sich:
$A + B = C + D$
$A - B = 4(C - D)$
Aus der Anschluss- und Stetigkeitsbedingung an der Stelle x = b ergibt sich:
$Ce^{4ik_Ib} + De^{-4ik_Ib} = Ee^{ik_Ib}$
$4(Ce^{4ik_Ib} - De^{-4ik_Ib}) = Ee^{ik_Ib}$
(d) Die Transmissionswahrscheinlichkeit T ist das Betragsquadrat des Amplitudenkoeffizienten E der transmittierten Ortswellenfunktion φ₃. Wählt man o.B.d.A. den Koeffizienten A = 1 und verwendet die Beziehung:
$k_I = \frac{2\pi}{\lambda_I} = \frac{4\pi}{b}$
so erhält man aus den Gleichungen aus (c):
$B = C + D - 1$
$5C - 3D = 2$
$C + D = E$
$4(C - D) = E$
Daraus ergibt sich C = 10/16, D = 6/16 und somit E = 1. Damit erhält man für die Transmissionswahrscheinlichkeit:
$T = |E|^2 = 1$
Die einfallende Welle wird also vollständig transmittiert. Dies passiert immer wenn die Breite einer Potentialmulde (o.a. Barriere) einem Vielfachen der de-Broglie-Wellenlänge entspricht.