Im Kochsalzmolekül ²³Na³⁵Cl besitzen die beiden Atome einen Gleichgewichtsabstand von r₀ = 5.6 Å
(a) Wie groß ist das Trägheitsmoment I des Moleküls?
(b) Wie groß ist die Energie für den Rotationszustand mit j = 1?
(c) Die lineare Rückstellkraft des harmonischen Potentials zwischen den Kernen ist gegeben durch die Konstante k = 3.78 · 10³ kgs⁻². Wie groß sind die Energieabstände zwischen den Schwingungszuständen?
(a) Das Trägheitsmoment errechnet sich über:
$I = \mu r_0^2$
Für die reduzierte Masse erhält man:
$\mu = \frac{m_{Na}m_{Cl}}{m_{Na} + m_{Cl}} = \frac{23\text{ u} \cdot 35\text{ u}}{23\text{ u} + 35\text{ u}} = \frac{805}{58}\text{ u} \approx 2.30 \cdot 10^{-26}\text{ kg}$
Das Trägheitsmoment beträgt somit I = 7.23 · 10⁻⁴⁵ kgm².
(b) Für die Rotationsenergie gilt:
$E_{rot}(j) = \frac{\hbar^2j(j+1)}{2I}$
Die Energie des Rotationszustandes mit j = 1 beträgt mit dem in (a) berechneten Trägheitsmoment:
$E_{rot}(j=1) = 9.60\text{ meV}$
(c) Für die Energie der Schwingung gilt:
$E_{vib}(n) = \hbar\omega(n + \frac{1}{2})$
Wie beim harmonischen Oszillator haben die einzelnen Energien einen äquidistanten Abstand von ℏω. Für die Frequenz ω gilt nun:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$
Mit der in (a) berechneten reduzierten Masse μ und der angegebenen Konstanten k erhält man nun für den energetischen Abstand:
$\Delta E = \hbar\omega = \hbar\sqrt{\frac{k}{\mu}} \approx 0.27\text{ eV}$