Allpass-Filter
In der folgenden Abbildung ist ein sog. Allpass-Filter dargestellt:
- Berechnen Sie die Übertragungsfunktion $H(\omega) = \frac{\hat{U}_{out}}{\hat{U}_{in}}$.
- Wie groß sind der Verstärkungsfaktor und die Phasenverschiebung als Funktionen von $\omega$? Warum heißt die Schaltung "Allpass-Filter"?
Hinweis: Durch genaues Hinsehen erkennt man, dass die Schaltung auch in einer etwas einfacheren Form gezeichnet werden kann. Verwenden Sie den komplexen Ansatz $U_{in}(t) = \hat{U}_{in}e^{i\omega t}$ und rechnen Sie mit komplexen Widerständen, um die komplexen Amplituden $\hat{I}_1$ und $\hat{I}_2$ der Ströme $I_1(t) = \hat{I}_1e^{i\omega t}$ und $I_2(t) = \hat{I}_2e^{i\omega t}$ und daraus $\hat{U}_{out}$ zu bestimmen. Das Endergebnis lautet: $H(\omega) = \frac{(1-i\omega RC)}{1+i\omega RC}$.
1. Durch genaues Hinsehen erkennt man, dass sich der Allpass-Filter auch in einer einfacheren Form darstellen lässt: Es handelt sich um zwei identische ungekoppelte RC-Schaltkreise, die an die gemeinsame Wechselspannungsquelle $U_{in}(t)$ angeschlossen sind.
Die komplexe Amplitude $\hat{I}_1$ ergibt sich aus der komplexen Amplitude $\hat{U}_{in}$ per:
$\hat{I}_1 = \frac{1}{R + \frac{1}{i\omega C}}\hat{U}_{in}$
Entsprechend für $\hat{I}_2$:
$\hat{I}_2 = -\frac{1}{R + \frac{1}{i\omega C}}\hat{U}_{in}$
Die gesuchte komplexe Amplitude $\hat{U}_{out}$ der Ausgangsspannung ist dann:
$\hat{U}_{out} = \hat{U}_{in} - R\hat{I}_1 + R\hat{I}_2$
Hieraus kann man die Übertragungsfunktion ablesen:
$H(\omega) = 1 - \frac{2R}{R + \frac{1}{i\omega C}} = 1 - \frac{2i\omega RC}{1 + i\omega RC} = \frac{1 - i\omega RC}{1 + i\omega RC}$
2. Der Verstärkungsfaktor ist das Verhältnis der reellen Amplituden von Ausgangs- und Eingangsspannung:
$|H(\omega)| = |\frac{1 - i\omega RC}{1 + i\omega RC}| = \frac{|1 - i\omega RC|}{|1 + i\omega RC|} = \frac{\sqrt{1 + \omega^2R^2C^2}}{\sqrt{1 + \omega^2R^2C^2}} = 1$
Die Phasenverschiebung zwischen $U_{in}(t)$ und $U_{out}(t)$ berechnet man am einfachsten mit der Darstellung $1 + i\omega RC = re^{i\varphi}$:
$H(\omega) = \frac{1 - i\omega RC}{1 + i\omega RC} = \frac{re^{-i\varphi}}{re^{i\varphi}} = e^{-2i\varphi}$
$H(\omega)$ ist also ein reiner Phasenfaktor. Für den Phasenwinkel $\varphi$ gilt aufgrund seiner Definition:
$re^{i\varphi} = 1 + i\omega RC \Rightarrow \varphi = \arctan(\omega RC)$
Also ist die Phasenverschiebung:
$\Delta\varphi = -2\varphi = -2\arctan(\omega RC)$
Der Allpass-Filter erzeugt also ein Ausgangssignal, dessen (reelle) Amplitude für alle Frequenzen mit der (reellen) Amplitude des Eingangssignals übereinstimmt, das aber eine frequenzabhängige Phasenverschiebung aufweist. Daher der Name "Allpass-Filter".