Kugelkondensatoren
An den beiden abgebildeten Kugelkondensatoren liegt zwischen der inneren und der äußeren Metallkugel die Spannung $U$ an. Dabei stellen die schattierten Bereiche Dielektrika dar. Berechnen sie für (a) und (b) die Kapazität und die Flächenladungsdichte auf der äußeren und der inneren Kugel. Nehmen Sie an, dass die Felder in beiden Fällen rein radial ausgerichtet sind.
(Sie können davon ausgehen, dass sich die Kapazität eines Kondensators durch das Ausfüllen mit einem Dielektrikum der Dielektrizitätszahl $\varepsilon$ um den Faktor $\varepsilon$ erhöht.)
Fall (a): Zwei konzentrische Kugelschalen mit dielektrischen Schichten $\varepsilon_1$ und $\varepsilon_2$
Fall (b): Zwei konzentrische Kugelschalen mit sektorförmig angeordneten dielektrischen Bereichen $\varepsilon_1$ und $\varepsilon_2$
Die Kapazität eines Kugelkondensators mit innerem bzw. äußerem Radius $R_i$ bzw. $R_a$ wird durch ein Dielektrikum im Zwischenraum um den Faktor $\varepsilon$ vergrößert, also ist:
$C = 4\pi\varepsilon\varepsilon_0\frac{R_aR_i}{R_a - R_i}$
Fall (a):
Wir denken uns den gegebenen Kondensator als Grenzfall von zwei ineinandergesteckten Kugelkondensatoren mit kleinem Luftspalt. Auf beiden Kondensatoren befinde sich die Ladung $Q$.
Die Spannung zwischen den Schalen des inneren Kondensators ist:
$U_1 = \frac{Q}{C_1}$
mit:
$C_1 = 4\pi\varepsilon_1\varepsilon_0\frac{R_{a1}R_{i1}}{R_{a1} - R_{i1}}$
Insgesamt erhalten wir für die Kapazität:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{R_m - R_i}{\varepsilon_1R_mR_i} + \frac{R_a - R_m}{\varepsilon_2R_aR_m}\right)$
Die Flächenladungsdichte auf der inneren Kugelschale ist:
$\sigma_i = \frac{Q}{4\pi R_i^2} = \frac{CU}{4\pi R_i^2} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2R_mR_a/R_i}{\varepsilon_1(R_a - R_m)R_i + \varepsilon_2(R_m - R_i)R_a}$
Und die auf der äußeren Kugelschale:
$\sigma_a = \frac{Q}{4\pi R_a^2} = \frac{CU}{4\pi R_a^2} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2R_iR_m/R_a}{\varepsilon_1(R_a - R_m)R_i + \varepsilon_2(R_m - R_i)R_a}$
Fall (b):
Hier befinden sich die beiden Hälften einer Kugelschale auf demselben Potential, tragen aber unterschiedliche Ladungen:
$Q_1 = C_1U$, $Q_2 = C_2U$
mit den halben Kapazitäten:
$C_1 = 2\pi\varepsilon_1\varepsilon_0\frac{R_aR_i}{R_a - R_i}$, $C_2 = 2\pi\varepsilon_2\varepsilon_0\frac{R_aR_i}{R_a - R_i}$
Die Gesamtladung beträgt:
$Q = Q_1 + Q_2 = 2\pi(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)\varepsilon_0\frac{R_aR_i}{R_a - R_i}U$
Und die Gesamtkapazität:
$C = 2\pi(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)\varepsilon_0\frac{R_aR_i}{R_a - R_i}$
Es gibt 4 Flächenladungsdichten:
$\sigma_{1i} = \frac{Q_1}{2\pi R_i^2} = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_0UR_a/R_i}{R_a - R_i}$
$\sigma_{1a} = \frac{Q_1}{2\pi R_a^2} = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_0UR_i/R_a}{R_a - R_i}$
$\sigma_{2i} = \frac{Q_2}{2\pi R_i^2} = \frac{\varepsilon_2\varepsilon_0UR_a/R_i}{R_a - R_i}$
$\sigma_{2a} = \frac{Q_2}{2\pi R_a^2} = \frac{\varepsilon_2\varepsilon_0UR_i/R_a}{R_a - R_i}$