Magnetisierbarer Halbraum

In einem kartesischen Koordinatensystem ist der Halbraum $z < 0$ mit einem magnetisierbaren Material der Permeabilitätszahl $\mu_r$ gefüllt, der Halbraum $z > 0$ ist leer. Auf der Oberfläche des magnetisierbaren Materials verläuft entlang der y-Achse ein unendlich langer gerader Draht mit vernachlässigbarem Querschnitt, durch den ein konstanter Strom der Stärke $I$ in positive y-Richtung fließt. Bestimmen Sie $\mathbf{H}$, $\mathbf{B}$ und $\mathbf{M}$ im Leerraum und im magnetisierbaren Material.

Hinweis: Nehmen Sie an, dass $\mathbf{H}$, $\mathbf{B}$ und $\mathbf{M}$ die Form $\mathbf{H}(\mathbf{r}) = H_a(r)\mathbf{e}_\varphi$ im Außenraum bzw. $\mathbf{H}(\mathbf{r}) = H_i(r)\mathbf{e}_\varphi$ im Innenraum haben etc., wobei $r$ der Abstand zum Draht und $\varphi$ der Winkel um die y-Achse ist.

Das "modifizierte Ampèresche Gesetz":

$\oint_{\partial A} d\mathbf{r} \cdot \mathbf{H} = \int_A d\mathbf{S} \cdot \mathbf{j}$

führt mit dem Ansatz:

$\mathbf{H}(\mathbf{r}) = H_a(r)\mathbf{e}_\varphi$ , $\mathbf{H}(\mathbf{r}) = H_i(r)\mathbf{e}_\varphi$

und einem Kreis vom Radius $r$ um den Draht als Integrationsweg auf:

$\pi rH_a(r) + \pi rH_i(r) = I$

Es fehlt noch der Zusammenhang zwischen Innen- und Außenfeld. Wegen $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ muss die Normalkomponente von $\mathbf{B}$ beim Übergang von Materie ins Vakuum stetig sein, also:

$B_i = B_a$

Mit dem Zusammenhang zwischen $\mathbf{B}$ und $\mathbf{H}$, nämlich:

$H_i = \frac{1}{\mu_0\mu_r}B_i$

folgt hieraus die gesuchte Verbindung zwischen $H_a$ und $H_i$:

$H_i = \frac{1}{\mu_r}H_a$

Zusammen mit der obigen Gleichung sind das zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten $H_i$ und $H_a$ mit der Lösung:

$H_a(r) = \frac{\mu_r}{1 + \mu_r}\frac{I}{\pi r}$ , $H_i(r) = \frac{1}{1 + \mu_r}\frac{I}{\pi r}$

Daraus nun $B_a$ und $B_i$:

$B_a(r) = \frac{\mu_r}{1 + \mu_r}\frac{\mu_0 I}{\pi r} = B_i(r)$

Zum Schluss ergibt sich die Magnetisierung $\mathbf{M}$ aus der Definition $\mathbf{H}$:

$\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} - \mathbf{M}$

zu:

$M_a(r) = 0$

$M_i(r) = \frac{\mu_r - 1}{\mu_r + 1}\frac{I}{\pi r}$

Zusammengefasst:

$\mathbf{H}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \frac{1}{1+\mu_r}\frac{I}{\pi r}\mathbf{e}_\varphi & \text{für } 0 \leq \varphi \leq \pi \\ \frac{\mu_r}{1+\mu_r}\frac{I}{\pi r}\mathbf{e}_\varphi & \text{für } \pi \leq \varphi \leq 2\pi \end{cases}$

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_r}{1 + \mu_r}\frac{\mu_0 I}{\pi r}\mathbf{e}_\varphi$ für $0 \leq \varphi \leq 2\pi$

$\mathbf{M}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \frac{\mu_r-1}{\mu_r+1}\frac{I}{\pi r}\mathbf{e}_\varphi & \text{für } 0 \leq \varphi \leq \pi \\ 0 & \text{für } \pi \leq \varphi \leq 2\pi \end{cases}$