Ladungsdichte für Kugelschale und Kreisscheibe
Eine Kugelschale und eine Kreisscheibe (beide infinitesimal dünn, und mit dem Radius $R$) sind homogen geladen (Gesamtladung $q$). Geben Sie für beide Fälle die Ladungsdichte an (mit Hilfe von $\delta$- und $\Theta$-Funktionen).
Kugelschale:
Für die Kugelschale verwenden wir Kugelkoordinaten, $\rho(\mathbf{r}) = \rho(r,\vartheta,\varphi)$. Eine homogene Ladungsverteilung impliziert sphärische Symmetrie, also $\rho(r)$. Die Vorgabe infinitesimal dünn bedeutet dann $\rho(\mathbf{r}) = c_1\delta(r-R)$. Die Konstante $c_1$ folgt aus:
$q = \int d^3r\,\rho(\mathbf{r}) = 4\pi c_1\int_0^\infty dr\,r^2\delta(r-R) = 4\pi c_1R^2$
Damit ist die Ladungsdichte der Kugelschale:
$\rho(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi R^2}\delta(r-R)$
Kreisscheibe:
Für die Kreisscheibe verwenden wir Zylinderkoordinaten, $\rho(\mathbf{r}) = \rho(p,\varphi,z)$. Eine homogene Ladungsverteilung impliziert, dass $\rho$ nicht von $\varphi$ und im Inneren der Scheibe nicht von $p$ abhängt. Die Begrenzung auf $p \leq R$ wird durch den Faktor $\Theta(R-p)$, die Vorgabe infinitesimal dünn durch den Faktor $\delta(z)$ berücksichtigt, also $\rho = c_2\Theta(R-p)\delta(z)$. Die Konstante $c_2$ folgt aus:
$q = \int d^3r\,\rho(\mathbf{r}) = 2\pi c_2\int_0^\infty dp\,p\int_0^\infty dz\,\Theta(R-p)\delta(z) = \pi c_2R^2$
Damit ist die Ladungsdichte der Kreisscheibe:
$\rho(\mathbf{r}) = \frac{q}{\pi R^2}\Theta(R-p)\delta(z)$