Punktförmige Ladungsverteilung
1. Ein Elektron in der Nähe der Erdoberfläche wird durch ein über ihm befindliches Proton in der Schwebe gehalten, wobei die Gewichtskraft des Elektrons durch die elektrostatische Anziehung des Protons genau kompensiert wird. Wie groß ist der Abstand zwischen Elektron und Proton? Die Protonladung ist $e = 1.602 \cdot 10^{-19}$C, die Elektronenmasse $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$kg und die elektrische Feldkonstante ist $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$C/Nm².
2. Wie lautet das elektrostatische Feld $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ einer Ladung $q$, die sich am Ort $\mathbf{r}_q$ befindet?
3. Gegeben seien vier gleiche Ladungen $q$, von denen sich zwei auf der x-Achse bei $x = \pm a$ und zwei auf der y-Achse bei $y = \pm a$ befinden. Bestimmen Sie das von diesen Ladungen erzeugte elektrostatische Feld auf der z-Achse.
1. Der Abstand $r$ zwischen Elektron und Proton muss so groß sein, dass die elektrostatische Anziehung das Gewicht des Elektrons kompensiert, d.h:
$\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = m_e g$
also:
$r = \frac{e}{\sqrt{4\varepsilon_0 m_e g}} = 5,1$m
2. Das Feld einer Punktladung $q$ im Ursprung ist:
$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3}$
Das Feld einer um den Vektor $\mathbf{r}_q$ aus dem Ursprung verschobenen Ladung geht daraus durch die Ersetzung $\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} - \mathbf{r}_q$ hervor. Also:
$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_q}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q|^3}$
3. Für Ladung 1 auf der z-Achse:
$\mathbf{E}_1(0,0,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{z\mathbf{e}_z - a\mathbf{e}_x}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
Analog für Ladung 2:
$\mathbf{E}_2(0,0,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{z\mathbf{e}_z + a\mathbf{e}_x}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
Für Ladung 3:
$\mathbf{E}_3(0,0,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{z\mathbf{e}_z - a\mathbf{e}_y}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
Und für Ladung 4:
$\mathbf{E}_4(0,0,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{z\mathbf{e}_z + a\mathbf{e}_y}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
Das Gesamtfeld am Ort $(0,0,z)$ ist die Summe der Einzelfelder (Superpositionsprinzip):
$\mathbf{E}(0,0,z) = \sum_i \mathbf{E}_i(0,0,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4z\mathbf{e}_z}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
Das Feld auf der z-Achse hat also nur eine z-Komponente, wie aufgrund der Symmetrie der Ladungsanordnung zu erwarten ist. Oberhalb der xy-Ebene zeigt das Feld in positive z-Richtung (für positive $q$), unterhalb in negative z-Richtung.