Multipolentwicklung
Wir betrachten die Ladungsverteilung aus Aufgabe 3 (Punktladung vor geerdeten Metallplatten).
a) Führen Sie eine Multipolentwicklung des Potentials dieser Ladungsverteilung durch. Geben Sie den Quadrupoltensor explizit an.
b) Welches elektrische Potential ergibt sich damit in großer Entfernung ($r \gg a, b$)?
a) Führen Sie eine Multipolentwicklung des Potentials dieser Ladungsverteilung durch. Geben Sie den Quadrupoltensor explizit an.
b) Welches elektrische Potential ergibt sich damit in großer Entfernung ($r \gg a, b$)?
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a) Die Ladungsverteilung ist gegeben durch:
$\rho(\mathbf{r'}) = q[\delta(x'-a)\delta(y'-b) + \delta(x'+a)\delta(y'+b) - \delta(x'-a)\delta(y'+b) - \delta(x'+a)\delta(y'-b)]$
Das elektrische Monopolmoment ist null, da die Gesamtladung null ist.
Für das elektrische Dipolmoment ergibt sich ebenfalls:
$p_x = p_y = q\int d^2r' x' \rho(\mathbf{r'}) = 0$
Für die verschiedenen Komponenten des Quadrupoltensors erhalten wir:
$Q_{yy} = Q_{xx} = q\int d^2r' (3x^2 - x^2 - y^2)\rho(\mathbf{r'}) = 0$
$Q_{xy} = Q_{yx} = q\int d^2r' (3xy)\rho(\mathbf{r'}) = 12abq$
b) Für große Entfernungen ergibt sich damit für das Potential:
$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{3ab}{\pi\epsilon_0}\frac{xy}{r^5}$
$\rho(\mathbf{r'}) = q[\delta(x'-a)\delta(y'-b) + \delta(x'+a)\delta(y'+b) - \delta(x'-a)\delta(y'+b) - \delta(x'+a)\delta(y'-b)]$
Das elektrische Monopolmoment ist null, da die Gesamtladung null ist.
Für das elektrische Dipolmoment ergibt sich ebenfalls:
$p_x = p_y = q\int d^2r' x' \rho(\mathbf{r'}) = 0$
Für die verschiedenen Komponenten des Quadrupoltensors erhalten wir:
$Q_{yy} = Q_{xx} = q\int d^2r' (3x^2 - x^2 - y^2)\rho(\mathbf{r'}) = 0$
$Q_{xy} = Q_{yx} = q\int d^2r' (3xy)\rho(\mathbf{r'}) = 12abq$
b) Für große Entfernungen ergibt sich damit für das Potential:
$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{3ab}{\pi\epsilon_0}\frac{xy}{r^5}$