Potentiale und Felder

Gegeben sei das elektrische Feld $\textbf{E}(\textbf{x}) = (yz, xz, xy)^T$. Bestimmen Sie ein dazugehöriges elektrostatisches Potential.

(b)

Gegeben sei das Magnetfeld $\textbf{B}(\textbf{x}) = B_0 \cdot \textbf{e}_\varphi$ (in Zylinderkoordinaten). Wie lautet ein dazu passendes Vektorpotential?

(c)

Können die folgenden Vektorfelder ein statisches elektrisches Feld beschreiben? Wenn ja, dann geben Sie die dazugehörige Ladungsdichte $\rho$ an.

$\textbf{F}_1(\textbf{x}) = r \cdot \textbf{e}_x$

$\textbf{F}_2(\textbf{x}) = f(r) \cdot \textbf{e}_r$

$-\nabla\phi = \textbf{E}$

$\begin{pmatrix} yz \\ xz \\ xy \end{pmatrix} = -\nabla\phi$

$\Rightarrow \phi = -xyz + c$

Lösung (b)

$\nabla \wedge \textbf{A} = B_0\textbf{e}_\varphi$ und $\nabla = \textbf{e}_r\partial_r + \frac{1}{r}\textbf{e}_\varphi\partial_\varphi + \textbf{e}_z\partial_z$

Ansatz: $\textbf{A} = A(r)\textbf{e}_z$

$\Rightarrow \nabla \wedge \textbf{A} = \textbf{e}_r \wedge \partial_rA(r)\textbf{e}_z = -\partial_rA(r)\textbf{e}_\varphi = B_0\textbf{e}_\varphi$

$\Rightarrow \partial_rA(r) = -B_0 \Rightarrow A(r) = -B_0r + c$

$\Rightarrow \textbf{A} = (-B_0r + c)\textbf{e}_z$

Lösung (c)

(1) Für $\textbf{F}_1$:

$\nabla \wedge (r\textbf{e}_x) = (\nabla r) \wedge \textbf{e}_x + r(\nabla \wedge \textbf{e}_x) = \frac{\textbf{x}}{r} \wedge \textbf{e}_x = \frac{1}{r}\begin{pmatrix} 0 \\ z \\ -y \end{pmatrix} \neq \textbf{0}$

$\Rightarrow$ Kann kein elektrostatisches Feld sein

(2) Für $\textbf{F}_2$:

$\nabla \wedge (f(r)\textbf{e}_r) = (\nabla f(r)) \wedge \textbf{e}_r + f(r)(\nabla \wedge \textbf{e}_r) = \textbf{e}_r \wedge \textbf{e}_r + 0 = \textbf{0}$

$\Rightarrow$ Kann ein elektrostatisches Feld sein

Die Ladungsdichte berechnet sich über: $\nabla \cdot \textbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho$

$\nabla \cdot \textbf{E} = \nabla \cdot f(r)\textbf{e}_r = (\nabla f(r)) \cdot \textbf{e}_r + f(r)(\nabla \cdot \textbf{e}_r)$

$= \textbf{e}_r \cdot \textbf{e}_r \cdot \frac{df(r)}{dr} + f(r) \cdot \frac{2}{r}$

$= \frac{3f(r)}{r} + r\frac{df(r)}{dr}$

$\Rightarrow \rho = \epsilon_0(\frac{3f(r)}{r} + r\frac{df(r)}{dr})$