Ladungsdichte des Wasserstoffatoms
Die Ladungsdichte eines Wasserstoffatoms im Grundzustand erzeugt das elektrische Feld:
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}) = \frac{e}{r^2}e^{-2r/a_0}\boldsymbol{e_r}$
- Berechnen Sie daraus die Gesamtladung $Q$ des Wasserstoffatoms, das heißt die Ladung, die in einer Sphäre mit Radius $R \to \infty$ eingeschlossen ist.
- Bestimmen Sie die Ladungsdichte des Wasserstoffatoms.
1. Für die Gesamtladung erhalten wir:
$Q_V = \frac{1}{4\pi}\int d\cos \theta d\phi ee^{-2R/a_0} = ee^{-2R/a_0} \xrightarrow{R\to\infty} 0$
2. Die Ladungsdichte wird:
$\rho(\boldsymbol{x}) = e\delta^3(\boldsymbol{x}) - \frac{e}{2\pi a_0r^2}e^{-2r/a_0}$
Die Ladungsdichte setzt sich aus zwei Teilen zusammen:
- Einem punktförmigen positiven Anteil (Proton) am Ursprung: $e\delta^3(\boldsymbol{x})$
- Einer kontinuierlichen negativen Ladungsverteilung (Elektron): $-\frac{e}{2\pi a_0r^2}e^{-2r/a_0}$