Zylinderkondensator
a) Berechnen Sie das elektrische Feld im Zylinderkondensator mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes. Die Ladung pro Längeneinheit sei $\lambda$.
b) Berechnen Sie daraus die Potentialdifferenz zwischen den beiden Zylindern mit Radien $R_1$ und $R_2$ sowie die Kapazität.
a) Auf einem Abschnitt der Länge h sitzt die Ladung $\lambda \cdot h$.
Mit dem Gaußschen Gesetz integrieren wir über eine Gaußsche Oberfläche in Form eines Zylinders mit Radius "r" und Höhe h:
$\int_{Zyl} \nabla \cdot \mathbf{E}d^3r = \oint_{\partial Zyl} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = E_r 2\pi r h = \lambda h \frac{1}{\epsilon_0}$
Daraus folgt:
$E_r(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$
Man kann noch $\sigma := Q/l$ als "Linienladung" definieren, muss man aber nicht.
b) Das Potential des obigen E-Feldes ist:
$\Phi(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln(r)$
Die Spannungsdifferenz zwischen den beiden Zylindern ist also:
$\Delta\Phi = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)$
Die Ladung des Zylinderkondensators ist $\lambda \cdot L$, die Kapazität ergibt sich also als:
$C = \frac{Q}{\Delta\Phi} = \frac{2\pi \epsilon_0 L}{\ln(R_2/R_1)}$