Multipolentwicklung

Zunächst fällt auf, dass die Ladungsverteilung nicht von φ abhängt. Bei der Berechnung der Multipolmomente tritt daher das Integral $\int_0^{2\pi} d\phi\, e^{im\phi} = 2\pi\delta_{m0}$ auf. Alle Multipolmomente $q_{lm}$ mit $m \neq 0$ verschwinden also. Weiter ist: $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = \frac{2}{3}(P_0(\cos\theta) - P_2(\cos\theta))$ Da die Legendre-Polynome die Orthogonalitätsbeziehung $\int_{-1}^1 dx\, P_n(x)P_m(x) = \frac{2}{2n+1}\delta_{nm}$ erfüllen, können nur die beiden Multipolmomente $q_{00}$ und $q_{20}$ von Null verschieden sein. Der allgemeine Ausdruck für $q_{lm}$ wird: $q_{lm} = 2\pi\delta_{m0}\int dr\, r^{l+2}\frac{e}{64\pi a^3}\left(\frac{r}{a}\right)^2e^{-r/a}\int d\cos\theta\,\frac{2}{3}(P_0(\cos\theta) - P_2(\cos\theta))\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos\theta)$ $= \frac{ea\delta_{m0}}{24}\left(\delta_{l0} - \frac{\delta_{l2}}{5}\right)\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\int dx\, x^{l+4}e^{-x}$ $= \frac{ea\delta_{m0}}{24}\left(\delta_{l0} - \frac{\delta_{l2}}{5}\right)\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}(l+4)!$ Speziell ergibt sich: $q_{00} = \frac{e}{\sqrt{4\pi}}$ $q_{20} = -ea^2\sqrt{\frac{45}{\pi}}$ Alle anderen Multipolmomente verschwinden.