Sphärisch symmetrische Ladungsverteilungen
Sphärisch symmetrische Ladungsverteilungen
Zeige: Für um den Ursprung sphärisch symmetrische Ladungsverteilungen verschwinden das Dipol- und das Quadrupolmoment.
Da die Ladungsverteilung sphärisch symmetrisch ist, empfiehlt es sich, in Kugelkoordinaten zu arbeiten.
1. Dipolmoment:
Das Dipolmoment für eine solche Ladungsverteilung $\rho(r)$ ist:
$\mathbf{p} = \int \rho(r)\mathbf{r}dV$
$= \int_0^\infty r^3\rho(r)dr \int d\Omega\, \mathbf{e}_r$
Wie man in Kugelkoordinaten leicht sieht, verschwinden die Winkelintegrale über die Komponenten von $\mathbf{e}_r$ alle:
$\int d\Omega\, \mathbf{e}_r = 0$
Also verschwindet das Dipolmoment.
2. Quadrupolmoment:
Ähnlich kann man bei den Nicht-Diagonalelementen des Quadrupolmoments argumentieren. Beispielsweise hat man:
$Q_{12} = \int \rho(r)3xydV$
$= 3\int_0^\infty r^4\rho(r)dr \int d\Omega\, \sin^2\theta\cos\phi\sin\phi = 0$
Für die Diagonalelemente berechnen wir erst mal:
$\int \rho(r)x^2dV = \int_0^\infty r^4\rho(r)dr \int d\Omega\, \sin^2\theta\cos^2\phi$
Die Winkelintegrale kann man leicht explizit auswerten; man erhält:
$\int \rho(r)x^2dV = \int_0^\infty r^4\rho(r)dr \cdot \frac{4}{3}\pi$
Dasselbe Ergebnis erhält man auch bei den Integralen über $y^2$ bzw. $z^2$. Damit folgt sofort:
$Q_{11} = \int \rho(r)(2x^2 - y^2 - z^2)dV = 0$
und ebenso $Q_{22} = Q_{33} = 0$