Braunsche Röhre

In einer Braunschen Röhre werden Elektronen von einer Glühkathode ins Vakuum emittiert und anschließend in einem homogen elektrostatischen Feld $\vec{E}$ auf ein Anodengitter beschleunigt.

  1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in der Braunschen Röhre auf.
  2. Lösen Sie die Bewegungsgleichung. Gehen Sie davon aus, dass sich das Elektron unmittelbar nach der Emission in Ruhe befindet.
  3. Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Elektrons nachdem es die Beschleunigungsstrecke s zwischen Kathode und Anode durchlaufen hat, nur von der Spannung U abhängig ist, also vom Produkt $U = E \cdot s$.

a) Bewegungsgleichung

$m_e\ddot{x} = e \cdot E$

b) Lösung der Bewegungsgleichung

Die Lösung der Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration von:

$\ddot{x}(t) = \frac{e \cdot E}{m_e}$

Also erst mal die Geschwindigkeit:

$\dot{x}(t) = \frac{e \cdot E}{m_e}t$

Und damit die Trajektorie:

$x(t) = \frac{e \cdot E}{2m_e}t^2$

c) Geschwindigkeitsabhängigkeit

Über die Beschleunigungsstrecke s mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe:

$x(t) = s$

Daraus erhält man die Zeit, die die Elektronen benötigen, um die Strecke s zu durchlaufen:

$t = \sqrt{\frac{2m_es}{eE}}$

Eingesetzt in die Geschwindigkeit erhält man:

$v = \frac{eE}{m_e}\sqrt{\frac{2m_es}{eE}} = \sqrt{\frac{2eEs}{m_e}}$