Magnetfeld eines Stromleiters

Strom fließt durch einen unendlich langen Draht mit Radius a. Dabei ist die elektrische Stromdichte $j_0$ konstant, homogen und zeigt aus der Abbildung hinaus.

  1. Berechnen Sie die Größe des Magnetfeldes B(r) für einen Radius r < a und einen Radius r > a. Geben Sie in beiden Fällen die Richtung des Magnetfeldes ein.
  2. Was passiert mit der Richtung des Magnetfeldes, wenn die Richtung des Stroms umgekehrt wird, so dass er in die Zeichenebene hineinfließt?
  3. Durch den Draht wird jetzt ein Loch gebohrt. Das Loch hat den Radius b mit 2b < a. Der Punkt O befindet sich in der Mitte des Drahtes und der Punkt M ist in der Mitte des Lochs. In diesem modifizierten Draht existiert eine Stromdichte und bleibt gleich $j_0$ über den verbleibenden Querschnitt des Drahtes. Berechnen Sie die Größe des Magnetfeldes bei M, bei L und bei N und begründen Sie Ihre Antworten.

a) Magnetfeld für verschiedene Radien

Für r < a ergibt sich aus dem Ampereschen Gesetz:

$\oint\vec{B}d\vec{s} = 2\pi rB = \mu_0I = \mu_0j_0\pi r^2$

und damit das Magnetfeld mit:

$B = \frac{\mu_0j_0\pi r^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0j_0r}{2}$

Für r > a:

$\oint\vec{B} \cdot d\vec{s} = 2\pi rB = \mu_0I = \mu_0j_0\pi a^2$

und dann ist das Magnetfeld gegeben durch:

$B = \frac{\mu_0j_0\pi a^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0j_0a^2}{2r}$

b) Umkehrung der Stromrichtung

Wenn die Richtung des Stromes umgekehrt wird, so dreht sich auch die Richtung des Magnetfeldes: Es geht dann im Uhrzeigersinn und nicht mehr gegen den Uhrzeigersinn. Die Größe des Magnetfeldes ändert sich nicht.

c) Magnetfeld mit Loch

Diese Konfiguration kann als Superposition von zwei verschiedenen Drähten verstanden werden:

  • Beim Punkt M befinden wir uns im Mittelpunkt des kleinen Drahtes; daher trägt er nicht zum Magnetfeld bei. Wir befinden uns bei einem Radius r = a - b innerhalb des großen Drahtes und daher ist das Magnetfeld gegeben durch: $B = \frac{\mu_0j_0(a-b)}{2}$
  • Beim Punkt L überlagern sich die Magnetfelder. Das Gesamtfeld ist: $B = \frac{\mu_0j_0(a-b)}{2}$
  • Bei Punkt N ist das Magnetfeld ebenfalls: $B = \frac{\mu_0j_0(a-b)}{2}$

Das Loch zerstört die zylindrische Symmetrie des Drahtes. Daher ist B nicht mehr auf einer Kreislinie konstant, so dass $\oint\vec{B}d\vec{s} \neq 2\pi rB$.