Kontinuierliche Ladungsverteilung

1. Betrachten Sie die folgende Ladungskonfiguration und berechnen Sie das elektrostatische Feld: Eine konstante Flächenladungsdichte $\sigma$ auf der gesamten xy-Ebene.

2. Verwenden Sie das Ergebnis ( $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \text{sign}(z)\sigma\mathbf{e}_z/2\varepsilon_0$ ) um das Feld zweier unendlicher paralleler Ebenen $x = \pm a$ mit konstanten und gleichen Flächenladungsdichten $\sigma$ zu bestimmen. Betrachten Sie die durch die beiden Ebenen definierten Teilräume getrennt.

Hinweis: Sie können das Integral aus 1. vereinfachen, indem Sie sich überlegen, welche Feldkomponenten aus Symmetriegründen verschwinden müssen. Es gilt $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}} = 2/a^2$

1. Das Feld der mit konstanter Linienladungsdichte $\lambda$ belegten z-Achse findet man durch Integration über die infinitesimalen Ladungselemente $dq = \lambda dz'$ an den Orten $\mathbf{r}'(z') = z'\mathbf{e}_z$ :

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}dz'\lambda\frac{\mathbf{r} - z'\mathbf{e}_z}{|\mathbf{r} - z'\mathbf{e}_z|^3}$

Das Integral für die z-Komponente des Feldes lautet:

$E_z(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}dz'\lambda\frac{x}{(x^2 + y^2(z-z'))^{3/2}}$

Mit der Abkürzung $x^2 + y^2 = a^2$ und der Substitution $z' - z = \zeta, dz' = d\zeta$ nimmt das Integral die übersichtlichere Form:

$E_x(\mathbf{r}) = \frac{\lambda x}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\zeta}{(a^2 + \zeta^2)^{3/2}}$

an, woraus mit dem angebenen Integral folgt:

$E_x(\mathbf{r}) = \frac{\lambda x}{2\pi\varepsilon_0 a^2} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{x}{x^2 + y^2}$

Entsprechend ergibt sich für die y-Komponente des Feldes:

$E_y(\mathbf{r}) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{y}{x^2 + y^2}$

Zusammengefasst lautet das Feld daher:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{x\mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y}{x^2 + y^2}$

2. Im Bereich $x < -a$ links von beiden Ebenen wirken die Felder beider Ebenen in dieselbe Richtung ( $-\mathbf{e}_x, \sigma > 0$ ), addieren sich also "konstruktiv". Das Gesamtfeld dort is also:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\mathbf{e}_x$

Im Zwischenraum $-a < x < a$ zwischen den beiden geladenen Ebenen haben die Einzelfelder zwar denselben Betrag, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen ( $\pm\mathbf{e}_x$ ), addieren sich also "destruktiv". Das Gesamtfeld dort ist also:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = 0$

Im Bereich $x > a$ rechts von beiden Ebenen wirken die Felder beider Ebenen in dieselbe Richtung ( $\mathbf{e}_x, \sigma > 0$ ), addieren sich also "konstruktiv". Das Gesamtfeld dort ist also:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\mathbf{e}_x$