Gravitationsrotverschiebung

a) Wie groß ist die relative Frequenzverschiebung $\frac{\Delta\nu}{\nu}$ eines Photons, das sich im Gravitationsfeld der Erde um die Strecke $s = 5m$ senkrecht zur Erdoberfläche nach oben bewegt?

b) Ist die Verschiebung beobachtbar für:

Photonen aus einem atomaren Übergang des Natriums ($\lambda = 589,6\text{ nm}$, $\tau = 16,4\text{ ns}$)
$\gamma$-Quanten von einem Kernübergang von Zn ($E_\gamma = 93,32\text{ keV}$, $\tau = 14,6\text{ µs}$)

Hinweis: Es gilt die Unschärferelation $\Delta E \cdot \tau = h$. Die Verschiebung ist beobachtbar falls $\frac{\Delta E}{E} \leq \frac{\Delta\nu}{\nu}$

a) Relative Frequenzverschiebung

Die potentielle Energie eines Photons in der Nähe der Erdoberfläche ist $U_P = mgs$, wobei $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ die Gravitationskonstante ist und die Masse über $mc^2 = h\nu$ berechnet werden kann.

Es gilt:

$h\nu_s = h\nu - mgs = h\nu(1 - \frac{\nu gs}{c^2})$

Daraus folgt:

$\frac{\Delta\nu}{\nu} = -\frac{gs}{c^2} = 5,45 \cdot 10^{-15}$

b) Beobachtbarkeit der Verschiebung

Durch Umformen der Unschärferelation erhalten wir:

$\frac{\Delta E}{E} \approx \frac{h}{\tau h\nu} = \frac{\lambda}{\tau c}$

Für den Natriumübergang:

$\frac{\Delta E}{E} = 1,2 \cdot 10^{-7}$

Da dieser Wert viel größer als die spektrale Halbwertsbreite ist, kann man die Rotverschiebung nicht erkennen.

Für den Kernübergang:

$\frac{\Delta E}{E} = 3,4 \cdot 10^{-15}$

Dieser Wert liegt in der Größenordnung der spektralen Halbwertsbreite. Die Rotverschiebung ist hier also beobachtbar.