Ein Glaskörper hat eine konvex gewölbte Oberfläche mit Radius R. Skizzieren sie den Verlauf eines Strahls der erst im Abstand h parallel zur optischen Achse verläuft, die Grenzfläche im Winkel α trifft, im Winkel β wieder verlässt und die optische Achse am Brennpunkt (innerhalb des Glaskörpers) im Winkel γ kreuzt.
Benutzen sie das Snelliussche Gesetz:
$n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$
sowie den Strahlensatz und die Kleinwinkelnäherung um einen Ausdruck für die Brennweite in Abhängigkeit des Radius und den Brechungsindices zu finden.
Aus der Abbildung lässt sich ablesen, dass gilt:
$h = R \cdot \sin\alpha = f \cdot \tan\gamma$
Aus der Dreiecksgleichung folgt $\gamma = \alpha - \beta$, also gilt für die Brennweite:
$f = \frac{R \cdot \sin\alpha}{\tan(\alpha - \beta)}$
Mit der Kleinwinkelnäherung folgt:
$f = \frac{R \cdot \alpha}{\alpha - \beta}$
Und über das Snelliussche Gesetz:
$f = \frac{R \cdot \alpha}{\alpha - (\frac{n_1}{n_2})\alpha}$
Also ergibt sich die finale Formel:
$f = \frac{R \cdot n_2}{n_2 - n_1}$